Fourier Theorim

Simple waves overlap to create complex waves. This is a phenomenon applicable to all waves, and actual waveforms such as seismic waves, sound waves, light, and radio waves are actually very complex, but simple waveforms can be analyzed as a basis.

1. Fourier Series

푸리에 급수는 열의 전달 방식에 대한 연구에서 발견되었다. "어떤 함수이든 다양한 sin 함수와 cos 함수를 무한히 더한 식으로 나타낼 수 있다 라는 발견이다. sin과 cos을 무한히 더한 식을 지금 푸리에 급수라고 부른다. 하기 예시(출처 : wikipidia)

2. Fourier Transform

푸리에 변환은 복잡한 파동을 분해해서 주파수 별 파동의 크기를 구하는 것을 말한다. 어떤 이미지 파동이나 음파에 대한 특징을 알기 위해서는 단순한 파동으로 분해를 해야 한다. 각 분해한 주파수 sin과 cos파가 어느 정도 포함하고 있는지 계산으로 구해야 한다.

이것은 푸리에 급수의 sin이나 cos 앞에 있는 "푸리에 계수"(각각의 sin이나 cos을 몇 배할 것인지 나타내는 값. 상기 image의 a, b 등) 구체적으로 구하는 것이다.

복잡한 파동의 푸리에 계수를 구체적으로 구하는 수학적 조작이 바로 "푸리에 변환" 이라고 한다. 그리고, 이 변환을 써서 원래 함수의 성질을 조사하거나 푸리에 변환을 응용해 파동의 특징을 분석하는 일을 "푸리에 해석" 이라고 한다.

 

Photo mask를 통과하여 wafer에 나타나는 image를 푸리에 변환을 통해서 분석할 수 있다.

* Fourier Synthesis

회절이 일어난 현상을 수학적으로 표현하자면 fourier transform이다 라고 할 수 있다.

어떤 함수이던 간에 주기적으로 변하는 함수라면 sin/cos 의 합으로 분리해서 표현할 수 있다.(sin/cos 의 여러 차항의 합으로 분리해서 표현 가능)

무조건, 물체를 fourier transform 해주면 상(image)를 구할 수 있다. 만약, 슬릿이 가우시안 꼴이면, 회절된 상도 가우시안 꼴로 나타난다.

* What is FTT? 

FTT stands for Fast Fourier Transform. It is a widely used mathematical algorithm that efficiently computes the discrete Fourier transform (DFT) of a sequence, or equivalently, the frequency domain representation of a time-domain signal.

The Fourier transform is a mathematical technique that allows us to analyze the frequency content of a signal. It decomposes a signal into its constituent frequencies and their respective amplitudes. The Fourier transform is used in a variety of fields, including signal processing, communication systems, audio processing, and image processing.

The Fast Fourier Transform (FFT) is an algorithm that can compute the DFT of a sequence much faster than the standard DFT algorithm, which requires O(n^2) operations for a sequence of length n. The FFT algorithm requires only O(n log n) operations, making it much faster for large sequences. It is an essential tool for digital signal processing and has numerous applications in audio and video compression, filtering, and analysis.

 

* ps : 자연계에는 천연 푸리에 해석 장치가 있다는데, 바로 무지개 이다. 빛의 색깔(주파수)에 따라 빛이 꺾이는 정도(굴절률)가 다르다. 따라서 다양한 색깔로 분광되어 무지개로 표현된다.